Eindwerken @ NALAG 2000-2001

De volgende onderwerpen hebben een promotor bij NALAG


Overzicht



Splines

 Het begrip splines is uit vorige cursussen al gekend. Deze functies lenen zich uitstekend om curven en oppervlakken te benaderen of voor te stellen. Het onderzoek gaat momenteel over toepassingen in CAGD (computer aided geometric design) en over het voorstellen van oppervlakken op driehoekige roosters waarbij men eventueel extra voorwaarden kan opleggen zoals convexiteit, monotonie enz.

  • De Powell-Sabin spline voorstelling van bemonsterde oppervlakken

    Promotor: Paul Dierckx
    Begeleider: Joris Windmolders

    Splines over driehoeksverdelingen hebben een aantal voordelen ten opzichte van tensor produkt splines. Zo is men niet beperkt tot een rechthoekig parameterdomein, en kunnen er oppervlakken met een willekeurig aantal zijden mee voorgesteld worden. Powell-Sabin splines zijn splines over willekeurige driehoeksverdelingen met globale C1-continuiteit. In hun genormaliseerde B-spline voorstelling blijken ze tal van eigenschappen te hebben die interessant zijn voor gebruik in CAGD, zoals lokale controle en de convex omhullende eigenschap. Het controlenet van een Powell-Sabin spline oppervlak bestaat daarbij uit een aantal controledriehoeken die rakend zijn aan het oppervlak. In de praktijk is het niet triviaal om, met een geometrische vorm voor ogen, een geschikt driehoekig domein en controlenet te construeren. Wel beschikt men vaak over een "mesh" van driehoeken, door een aantal meetpunten te nemen van een bestaand oppervlak. Bij een klassieke meting zullen de meetpunten niet in het oppervlak zelf gelegen zijn, maar op zekere afstand erbuiten. Het is de bedoeling in dit eindwerk na te gaan of een dergelijk mesh kan gebruikt worden als controlenet van een Powell-Sabin spline, om een vloeiend oppervlak te bekomen dat een goede benadering is van het bemonsterde oppervlak.

  • Oppervlaktevereffening met convexiteitsvoorwaarden

    Promotor: Paul Dierckx
    Begeleider: Paul Dierckx

    Bij het vereffenen ("smoothen") van meetgegevens is het belangrijk dat zekere specifieke eigenschappen zoals monotoniciteit of convexiteit gereflecteerd worden in het benaderend oppervlak. In het kader van een doctoraatsstudie op het departement werd een algoritme ontworpen en geimplementeerd voor het fitten van een Powell-Sabin splineoppervlak (een stuksgewijze kwadratische veelterm over een willekeurige triangulatie) met convexiteitsvoorwaarden. Recentelijk werden alternatieven voorgesteld waarbij andere types van splinefuncties worden gebruikt (tensor product splines, Powell-Sabin splines van type 2) en ook technieken uit het domein van CAGD (blossoming, eigenschappen van Bezier- oppervlakken, ...). De bedoeling van dit eindwerk is deze alternatieven te bestuderen, uit te werken en te implementeren om zo tot een vergelijkende studie van methodes te kunnen komen.


Wavelets

 Wavelets, letterlijk kleine golven, vormen basisfuncties voor een functie-transformatie. Zij zijn een alternatief - met bepaalde voordelen - voor de klassieke Fourier-analyse en ze zijn dan ook bijzonder geschikt in signaal- of beeldverwerking. Omdat ze een golfvorm bezitten die niet oneindig doorloopt zoals een sinus, kunnen ze discontinuïteiten (randen in het beeld) met veel minder coëfficiënten voorstellen. Dit maakt dat het beeld met een beperkt aantal grote coëfficiënten kan voorgesteld worden. Er bestaat eveneens een snel transformatie-algoritme.

Wavelets hebben de laatste jaren zeer sterk aan belang gewonnen en worden op veel gebieden toegepast: van numerieke analyse tot allerlei toepassingen in signaal en beeldverwerking.

Een belangrijke toepassing is het verwijderen van ruis waarover in de groep NALAG heel wat expertise aanwezig is.

  • Gebruik van a priori kansmodellen voor ruisverwijdering met wavelets

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Maarten Jansen

    De toepassing die hier behandeld wordt is het verwijderen van ruis met behulp van wavelets. Een van de algoritmes voor ruisonderdrukking berekent correlaties tussen bepaalde wavelet-coëfficiënten: is die correlatie klein, dan zijn die coëfficiënten hoogstwaarschijnlijk afkomstig van ruis. In eerste instantie kan een eindwerk dit algoritme nader onderzoeken. Zoals alle criteria, werkt ook dit niet perfect. Om het resultaat te verbeteren stellen we voor een a priori kansmodel voor belangrijke wavelet-coëfficiënten op te leggen. In combinatie met andere algoritmes gaf dit reeds behoorlijke resultaten, meer bepaald voor toepassingen in beelden.

    Dit onderwerp is tamelijk theoretisch, maar de theorie is zeker niet moeilijk. Je moet beslist niet alle details van de wavelet-theorie beheersen. Je hebt wat kennis en interesse voor statistiek en kansmodellen nodig, maar dat gaat zeker niet verder dan wat je weet uit de kandidatuurscursus. De beschikbare software is in C geschreven, en we verwachten wel dat je hiermee (na enkele weken) kan werken.

  • Valorisatie van WAILI

    Promotor: Adhemar Bultheel en D. Roose
    Begeleider: Adhemar Bultheel

    Het pakket WAILI is een C++ programma dat wavelettransformaties en elementaire bewerkingen op beelden toelaat. Het is ontwikkeld in het kader van een project met Barco en Eurosense.

    Voor beeldcompressie is ook een commercieel pakket MrSID door LizardTech op de markt gebracht.

    In het kader van JPEG2000 is er een krachtige encodering beschikbaar. Deze software incorporeert ook wavelets als compressietechniek.

    Ook Luciad, een bedrijf voor GIS applicaties is in compressie geïnteresserd.

    Het is de bedoeling van deze thesis om het compressiegedeelte van WAILI uit te breiden en de kwaliteit van WAILI te vergelijken met andere software, niet alleen wat compressie betreft, maar ook op geometrische nauwkeurigheid en eventueel andere aspecten.

    Hierbij zal eventueel moeten samengewerkt worden met Barco, Eurosense en/of LizardTech en/of Luciad.

    Dit is werk voor 1 of eventueel 2 studenten.

  • Fractionele Fouriertransformatie

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel

    De FrFT (fractionele Fouriertransformatie) is een integraaltransformatie net zoals de klassieke Fouriertransformatie met dit verschil dat de integraalkern niet de trigonometrische (of de complex-exponentiële) functie is, maar een kern die niet alleen afhangt van de tijd (t) en de frequentie (w), maar ook nog van een hoek (a). Vereenvoudigd zouden we het als volgt kunnen voorstellen: In het vlak kiezen we de t-as (tijd) en de w-as (frequentie) loodrecht op elkaar. Een Fouriertransformatie is dan een rotatie over 90 graden. Twee keer de Fouriertransformatie geeft het negatieve van het originele signaal (rotatie over 180 graden) enzovoort. De FrFT roteert nu over een hoek die niet noodzakelijk een veelvoud is van 90 graden. Hierdoor ontstaat een tijd-frequentie-voorstelling van het signaal dat bv. bij antennes een aantal toepassingen heeft. Doordat het ook een tijd-frequentie-voorstelling is, heeft het veel met wavelets te maken. Een mogelijk onderwerp zou kunnen zijn dit verband te onderzoeken. Andere meer praktische mogelijkheden zijn numerieke berekeningstechnieken voor dit soort transformaties. Wat is het analoge van de FFT en DFT voor de FrFT?

  • Didactische software voor de wavelet cursus

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel

    Zie hiervoor bij het onderwerp Didactische software.


Gestructureerde lineaire algebra

 Verschillende toepassingen binnen signaalverwerking en systeemtheorie leiden tot lineaire algebra problemen waarbij de matrices gestructureerd zijn. Men wil bijvoorbeeld uit een aantal metingen aan de ingang en de uitgang van een systeem, een model opstellen voor dit systeem dat de metingen op een bepaalde manier verklaart. Dit probleem kan uiteindelijk getransformeerd worden tot een zogenaamd Toeplitz stelsel, d.w.z. een stelsel waarbij de elementen op elk van de diagonalen van de coëfficiëntenmatrix aan elkaar gelijk zijn.

Binnen het lopende onderzoek houden we ons bezig met het opstellen, implementeren en uittesten van algoritmen voor het snel en nauwkeurig oplossen van zulke stelsels. We zijn er reeds in geslaagd om Toeplitz stelsels van dimensie 500000 binnen een redelijke tijd nauwkeurig op te lossen. De bruikbaarheid van deze algoritmen binnen verschillende toepassingen wordt uitgetest.

  • Totale kleinste-kwadratenbenadering

    Promotor: Marc Van Barel
    Begeleider: Marc Van Barel

    Bij het oplossen van het stelsel Ax=b waarbij A gestructureerd is, ging tot hiertoe de meeste aandacht naar het geval waarbij A vierkant is. Voor een Toeplitz-matrix van orde n, bijvoorbeeld, hebben we snelle O(n2) en supersnelle O(n log2 n) algoritmen ontwikkeld waarin verschillende stabiliseringstechnieken werden ingebouwd. Het doel van deze thesis is het bestuderen van het rechthoekige geval waarbij de matrix A meer rijen dan kolommen heeft. We gaan op zoek naar snelle en supersnelle methodes die nauwkeurig de (totale) kleinste kwadraten oplossing berekenen.

  • Identificatie van systemen

    Promotor: Marc Van Barel
    Begeleider: Marc Van Barel

    Het doel van deze thesis is het toepassen van de methodes en technieken uit de gestructureerde lineaire algebra bij de identificatie van systemen. Er zal gewerkt worden met reële data-sets van in- en uitvoergegevens. Vertrekkende van deze gegevens willen we een goede benadering van het systeem berekenen die het verband tussen in- en uitvoergegevens verklaart. Als het systeem bepaalde eigenschappen heeft, kan het onderliggende probleem vaak herleid worden tot een probleem uit de gestructureerde lineaire algebra.


Orthogonale rationale functies

 Als veralgemening van orthogonale veeltermen kan men ook rationale functies beschrijven die orthogonaal zijn t.o.v. een inwendig product gedefinieerd op de reëe rechte of de complexe cirkel in het complexe vlak. Deze hebben toepassingen bij het oplossen van klassieke interpolatieproblemen, bij numerieke kwadratuur, zij kunnen gebruikt worden bij de constructie van wavelets, ze sluiten dicht aan bij methoden om optimale controleproblemen op te lossen in oneindig-norm enz. In de richting van elk van deze toepassingen kan gewerkt worden.

  • Orthogonale rationale functies op een interval

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel

    Als veralgemening van orthogonale veeltermen kan men ook rationale functies beschrijven die orthogonaal zijn t.o.v. een inwendig product gedefinieerd op de reële rechte of de complexe cirkel in het complexe vlak. Deze hebben toepassingen bij het oplossen van klassieke interpolatieproblemen, bij numerieke kwadratuur, zij kunnen gebruikt worden bij de constructie van wavelets, ze sluiten dicht aan bij methoden om optimale controleproblemen op te lossen in oneindig-norm enz.

    De gekende theorie is verzameld in het boek Orthogonal Rational Functions. Het gaat hier over functies orthogonaal over de eenheidscirkel in het complexe vlak of orthogonaliteit over de ganse reële as.

    Het is de bedoeling van deze thesis om de theorie aan te passen wanneer men slechts orthogonaliteit beschouwt over een interval of over een halve rechte.

  • Voorbeelden van orthogonale rationale functies

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Patrick Van gucht

    Als veralgemening van orthogonale veeltermen kan men ook rationale functies beschrijven die orthogonaal zijn t.o.v. een inwendig product gedefinieerd op de reële rechte of de eenheidscirkel in het complexe vlak. Deze hebben toepassingen bij het oplossen van klassieke interpolatieproblemen, bij numerieke kwadratuur, zij kunnen gebruikt worden bij de constructie van wavelets, ze sluiten dicht aan bij methoden om optimale controleproblemen op te lossen in oneindig-norm enz.

    De gekende theorie is verzameld in het boek Orthogonal Rational Functions. Het gaat hier over functies orthogonaal over de eenheidscirkel in het complexe vlak of orthogonaliteit over de ganse reële as.

    Het is de bedoeling van deze thesis om, voor zover dit mogelijk is om klassieke gevallen van orthogonale veeltermen (Legendre, Chebyshev, ...) aan te passen zodat dit orthogonale rationale functies worden. Hoeveel van de eigenschappen van veeltermen blijven behouden?

  • Orthogonale rationale functies en identificatie van systemen

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel en Patrick Van gucht

    In een reeks artikels bestudeert J. Bokor een aantal problemen van systeemidentificatie. Hij komt daarbij tot het gebruik van orthogonale rationale functies. Dit zijn functies die net zoals orthogonale veeltermen orthogonaal zijn voor een positief inwendig produkt, met dit verschil dat ze geen veeltermen, maar rationale functies zijn waarbij de nulpunten van de noemer vooraf gekozen worden. In de laatste van een reeks artikels komt hij op deze manier zelfs tot wavelets. In de onderzoeksgroep is een grote expertise aanwezig over orthogonale rationale functies (gevisualiseerd in een applet), maar in een andere context. De opgave van het eindwerk is om de artikels van Bokor te analyseren en na te gaan in hoeverre de orthogonale rationale functies die in NALAG bestudeerd zijn daarin kunnen gebruikt worden.


Didactische software

 In deze cluster zijn een aantal onderwerpen samengebracht die voorstellen rond het schrijven van grotere en kleinere applets die dan voor didactische doeleinden kunnen gebruikt worden in de aard van het hierboven gegeven voorbeeld.

keyboard_arrow_up