[an error occurred while processing this directive]

Eindwerken @ NALAG 2002-2003

De volgende onderwerpen hebben een promotor bij NALAG


Overzicht



Splines en CAD Toepassingen

 Het begrip splines is uit vorige cursussen al gekend. Deze functies lenen zich uitstekend om curven en oppervlakken te benaderen of voor te stellen. Het onderzoek gaat momenteel over toepassingen in CAGD (computer aided geometric design) en over het voorstellen van oppervlakken op driehoekige roosters waarbij men eventueel extra voorwaarden kan opleggen zoals convexiteit, monotonie enz.

  • T820 3D-reconstructie met behulp van impliciet gedefinieerde splineoppervlakken

    Promotor: Paul Dierckx
    Begeleider: Paul Dierckx

    3D reconstructie van ongestructureerde data

    In heel wat toepassingen, zoals bv. de medische beeldverwerking, wil men een smooth 3D-oppervlak reconstrueren uitgaande van een stel opgemeten vlakke contours. Voor oppervlakken met een complexe vorm lijkt het opstellen van een impliciete vergelijking s(x,y,z)=0 het enige haalbare.

    De bedoeling van deze thesis is een algoritme te ontwerpen en te implementeren waarbij eerst uitgaande van de opgemeten contouren op een zinvolle manier functiewaarden fi,j,k genereerd worden op een 3-dimensionaal rooster (xi,yj,zk) dat het oppervlak omsluit. Hierbij moet f in absolute waarde groot (klein) zijn als het roosterpunt ver (dicht) ligt van (bij) het oppervlak en krijgt het best ook een teken mee naargelang het roosterpunt binnen of buiten het oppervlak gelegen is. In een tweede stap zal dan een splinebenadering opgesteld worden zodanig dat s(xi,yj,zk) ongeveer gelijk is aan fi,j,k en het oppervlak s(x,y,z)=0 geeft dan de gevraagde benadering.

    De verschillende deelaspecten van de thesis zijn

    • het opstellen van een rooster met gepaste f-waarden
    • het uitwerken van een vereffeningsalgoritme voor het bepalen van s(x,y,z)
    • een efficiënte grafische weergave van s(x,y,z)=0 en de doorsneden ervan
    • het uittesten van de geschreven software op realistische computertomografie beelden


  • T821 Efficiënte visualisatie van Powell-Sabin oppervlakken over willekeurige driehoeksverdelingen

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Evelyne Vanraes

    Powell-Sabin splines zijn een krachtige tool voor het voorstellen van oppervlakken over driehoeksverdelingen. Ze hebben een gesloten mathematische uidrukking, daardoor kunnen ze gemakkelijk gemanipuleerd worden. Ze zijn erg geschikt voor het voorstellen van of benaderen van vloeiende oppervlakken. Dit geldt niet alleen voor oppervlakken over uniforme driehoeksverdelingen, maar ook over willekeurige driehoeksverdelingen.

    Het doel van deze thesis is deze oppervlakken op een efficiënte manier te visualiseren. Daarbij stellen zich een aantal vragen. Welke gegevens moeten allemaal bijgehouden worden? Op welke manier zullen we deze gegevens bijhouden, welke structuren? Op welke manier moet deze structuur aangesproken kunnen worden?

    Voor deze thesis zal moeten gebruik gemaakt worden van C++ en OpenGl. Voorkennis van OpenGl is niet nodig.




Wavelets

 Wavelets, letterlijk kleine golven, vormen basisfuncties voor een functie-transformatie. Zij zijn een alternatief - met bepaalde voordelen - voor de klassieke Fourier-analyse en ze zijn dan ook bijzonder geschikt in signaal- of beeldverwerking. Omdat ze een golfvorm bezitten die niet oneindig doorloopt zoals een sinus, kunnen ze discontinuïteiten (randen in het beeld) met veel minder coëfficiënten voorstellen. Dit maakt dat het beeld met een beperkt aantal grote coëfficiënten kan voorgesteld worden. Er bestaat eveneens een snel transformatie-algoritme.

Wavelets hebben de laatste jaren zeer sterk aan belang gewonnen en worden op veel gebieden toegepast: van numerieke analyse tot allerlei toepassingen in signaal en beeldverwerking.

  • T810 'Fairing' en 'smoothing' voor uniforme Powell-Sabin oppervlakken

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Info: Evelyne Vanraes

    Ruizig oppervlak en gladde benadering


    Uniforme Powell-Sabin splines zijn spline functies over uniforme driehoeksverdelingen. Deze functies hebben verschillende voordelen. Ze hebben een gesloten mathematische uitdrukking, daardoor kunnen ze gemakkelijk gemanipuleerd worden. Ze zijn erg geschikt voor het voorstellen van of benaderen van vloeiende oppervlakken.

    We beschouwen nu oppervlakken in Powell-Sabin voorstelling waar 'ruis' opzit. Deze oneffenheden kunnen bijvoorbeeld veroorzaakt worden als nadelig neveneffect van bepaalde CAGD algoritmen, zoals bijvoorbeeld het algoritme voor het opvullen van een opening in een oppervlak.

    Om deze oneffenheden te verwijderen bestaan verschillende mogelijkheden. Een eerste mogelijkheid is het gebruik van de Powell-Sabin wavelet transformatie die aan het departement ontwikkeld is, in combinatie met een threshold algoritme. Dit betekent dat het oppervlak een transformatie ondergaat waardoor veel coëfficiënt en klein of nul worden. Enkel de coëfficiënten boven een bepaalde drempel, threshold worden gehouden.

    Een andere mogelijkheid is de techniek van fairing. Hierbij wordt een bepaalde norm over het oppervlak geminimaliseerd. Verschillende normen zijn mogelijk, en dit kan zowel lokaal als globaal gebeuren.

    Het doel van deze thesis is het vergelijken van deze technieken. Beide hebben wellicht voordelen en nadelen. Voor welke toepassing is welke techniek het meest geschikt? Zijn er nog andere technieken die we over het hoofd gezien hebben? Om de technieken te kunnen vergelijken zal het nodig zijn na te denken over een manier om de zachtverlopendeheid van een oppervlak te meten, we hebben een maat nodig voor de non-smoothness van het oppervlak.

    De beschikbare code voor het gebruik van Powell-Sabin oppervlakken is geschreven in C++. Deze code is echter enkel beschikbaar voor Windows.

  • T812 Wavelet transformatie en compressie voor grote beelden

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Evelyne Vanraes

      

    Grote beelden kunnen in hoge resolutie opgeslagen worden
    wat toelaat om 4 of 16 keer in te zoomen zonder verlies aan resolutie

    Het software pakket Kiwi (Kuleuven Integer Wavelettransformed Image) is een Java programma dat toelaat wavelet transformaties op beelden te berekenen. Het is ontwikkeld in het kader van een project met het bedrijf Luciad. De gebruikte wavelettransformaties zijn gehele getallen transformaties geïmplementeerd aan de hand van het lifting schema. Het resultaat na transformatie is een ijle voorstelling, veel getallen zijn nul of verwaarloosbaar klein. Door deze weg te laten kunnen we hoge compressiefactoren bereiken.

    In een vorige thesis werd aan Kiwi een compressie gedeelte toegevoegd dat gebaseerd is op JPEG2000, de nieuwe standaard waarin nu ook wavelets opgenomen zijn.

    Het doel van deze vervolg thesis is nu zowel het wavelet transformatie gedeelte als het compressie gedeelte uit te breiden voor zeer grote beelden. Sommige beelden zijn immers zo groot dat ze in zijn geheel passen in het geheugen van een gewone computer. Een mogelijke oplossing is dergelijke beelden op te delen in blokken, en deze afzonderlijk te verwerken. Dit laat ook parallelle verwerking toe. Een dergelijk blokken systeem zou volledig transparant moeten zijn voor de gebruiker.

    Voor deze thesis moet gebruikt gemaakt worden van Java.


  • T816 Fractionele Fouriertransformatie

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel

      
      

    De FrFT (fractionele Fouriertransformatie) is een integraaltransformatie net zoals de klassieke Fouriertransformatie met dit verschil dat de integraalkern niet de trigonometrische (of de complex-exponentiële) functie is, maar een kern die niet alleen afhangt van de tijd (t) en de frequentie (w), maar ook nog van een hoek (a). Vereenvoudigd zouden we het als volgt kunnen voorstellen: In het vlak kiezen we de t-as (tijd) en de w-as (frequentie) loodrecht op elkaar. Een Fouriertransformatie is dan een rotatie over 90 graden. Twee keer de Fouriertransformatie geeft het negatieve van het originele signaal (rotatie over 180 graden) enzovoort. De FrFT roteert nu over een hoek die niet noodzakelijk een veelvoud is van 90 graden. Hierdoor ontstaat een tijd-frequentie-voorstelling van het signaal dat bv. bij antennes een aantal toepassingen heeft.

    Doordat het ook een tijd-frequentie-voorstelling is, heeft het wel iets te maken met wavelets te maken.

    Een mogelijk onderwerp zou kunnen zijn dit verband te onderzoeken. Andere meer praktische mogelijkheden zijn numerieke berekeningstechnieken voor dit soort transformaties. Wat is het analoge van de FFT en DFT voor de FrFT? Er bestaan reeds routines om de dFrFT te berekenen. Zijn die de meest efficiënte? Hoe nauwkeurig zijn ze? Hoe kan men best andere Fractionele Transformaties berekenen?

  • T817 Didactische software voor de wavelet cursus

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel

    Zie hiervoor bij het onderwerp Didactische software.


Lineaire algebra

 In verschillende toepassingen wordt het vinden van de oplossing vertaald in het oplossen van lineaire algebra problemen. Het aantal onbekenden kan gemakkelijk oplopen tot meer dan 105 of zelfs 106. In deze gevallen kan men geen gebruik meer maken van de klassieke methodes. De eliminatiemethode van Gauss bijvoorbeeld zou veel te veel rekentijd vragen. Om in een aanvaardbare tijd tot een goede benadering van de oplossing te komen, kan men dan iteratieve methodes toepassen. Een andere mogelijkheid bestaat erin om de structuur in de betreffende matrices te gaan uitbuiten. Zo zijn er reeds heel wat algoritmen opgesteld voor ijle matrices, d.w.z., matrices die heel veel nullen bevatten. Verschillende toepassingen resulteren echter in matrices met een heel andere structuur. Men wil bijvoorbeeld uit een aantal metingen aan de ingang en de uitgang van een systeem, een model opstellen voor dit systeem dat de metingen op een bepaalde manier verklaart. Dit probleem kan uiteindelijk getransformeerd worden tot een zogenaamd Toeplitz stelsel, d.w.z. een stelsel waarbij de elementen op elk van de diagonalen van de coëfficiëntenmatrix aan elkaar gelijk zijn.

Binnen het lopende onderzoek houden we ons bezig met het opstellen, implementeren en uittesten van algoritmen voor het snel en nauwkeurig oplossen van zulke stelsels. Zo hebben we reeds verschillende methodes ontwikkeld waarbij de hoeveelheid rekenwerk evenredig is met n2 of zelfs n log2 n waarbij n het aantal onbekenden voorstelt. De thesisonderwerpen hebben tot doel deze expertise verder uit te breiden en te verdiepen.

  • T841 Het oplossen van blok Toeplitz-Toeplitz blok matrices

    Promotor: Marc Van Barel
    Begeleider: Raf Vandebril

    Matrices die een blok Toeplitz structuur hebben waarbij de blokken op hun beurt ook een Toeplitz structuur vertonen, komen voor in beeldverwerking. De huidige methodes maken enkel gebruik van de blok structuur of de structuur van de blokken maar niet van beide tegelijkertijd. Het doel van deze thesis is het ontwikkelen van algoritmen die uit de dubbele structuur voordeel halen om snel de oplossing te berekenen.

    een blok Toeplitz-Toeplitz blok matrix

  • T842 Semiseparabele matrices

    Promotor: Marc Van Barel
    Begeleider: Marc Van Barel

    In de numerieke lineaire algebra speelt de verzameling van de tridiagonale matrices een belangrijke rol. Denken we maar aan het symmetrische eigenwaardenprobleem waarbij de matrix eerst via een gelijkvormigheidstransformatie getransformeerd wordt naar een tridiagonale matrix waarop dan het QR algoritmen toegepast wordt. De inverse van een symmetrische tridiagonale matrix is een semiseparabele matrix, d.w.z., een matrix waarvan het benedendriehoeksstuk het benedendriehoeksstuk is van een matrix van rang 1 en hetzelfde voor het bovendriehoeksstuk. Het blijkt nu dat heel wat methodes en toepassingen van tridiagonale matrices een equivalent hebben binnen de verzameling van semiseparabele matrices. In deze thesis zullen deze verbanden verder onderzocht worden.

  • T818 Trillingsproblemen uit de automobiel- en luchtvaartindustrie

      
    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel en Karl Meerbergen (Free Field Technologies)

    In een aantal vibro-acoustische analyses (bv. lawaaihinder in een auto of vliegtuig) bepaalt men de amplitude van de frequentieresponsie X als oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen AX = B, waarin echter A en B (en dus ook X) afhangen van de frequentie (A is bv. van de vorm K-wM, met w het kwadraat van de frequentie). Het rechterlid kan een willekeurige functie van w zijn. Dikwijls zijn deze stelsels zeer groot omdat ze bv ontstaan uit eindige elementen discretisatie van differentiaalvergelijkingen. Daarom is het berekenen van X(w) voor meerdere waarden van w en dan een vectoriële benadering te doen een te dure oplossing.

    Voor het oplossen van het stelsel gebruikt men een iteratieve methode (bv. Krylov methoden) in combinatie met een expansie (bv. Padé) van de oplossing X(w). Voor een rechterlid dat ook afhangt van w, kan men een blok-Krylov methode toepassen waarbij men ook weer een expansie van het rechterlid heeft gebruikt. Er zijn zo verschillende mogelijkheden die kunnen onderzocht worden.

    Het doel van dit eindwerk is numerieke methoden te ontwikkelen en toe passen voor grootschalige problemen uit de automobielindustrie.

    Dit eindwerk is in samenwerking met Free Field Technologies (Louvain-la-Neuve)

  • T840 Veeltermeigenwaardeproblemen

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel en Karl Meerbergen (Free Field Technologies)

    Absolute en relatieve perturbaties
    op het spectrum van een veeltermeigenwaardeprobleem.
    Veeltermeigenwaardeproblemen zijn van de vorm (A0 + s A1 + ... + sp Ap) x = 0. Voor p = 0 krijgt men een gewoon eigenwaardeprobleem, voor p = 1 een veralgemeend eigenwaardeprobleem.

    Recent zijn er verschillende artikels verschenen over het oplossen van dit soort problemen.

    Een eerder theoretisch eindwerk rond dit onderwerp zou erin bestaan om na te gaan hoe men methodes moet aanpassen indien er Chebyshev of andere veeltermen worden gebruikt. Wat is de conditie van de veeltermformulering? Onderzoeken van de linearisaties, en de stabiliteit van QR in dit verband ... Zie het artikel van F. Tisseur.

    Een andere richting die meer in de implementatiegericht is gaat over het aanpassen of ontwerpen van technieken voor grootschalige berekeningen.

    Dit eindwerk is in samenwerking met Free Field Technologies (Louvain-la-Neuve)

    Literatuur

    Heel wat literatuur is de vinden op de webpagina van F. Tisseur. De bijgaande figuren komen uit één van haat artikels.


rationale functies

 Als veralgemening van orthogonale veeltermen kan men ook rationale functies beschrijven die orthogonaal zijn t.o.v. een inwendig product gedefinieerd op de reëe rechte of de complexe cirkel in het complexe vlak. Deze hebben toepassingen bij het oplossen van klassieke interpolatieproblemen, bij numerieke kwadratuur, zij kunnen gebruikt worden bij de constructie van wavelets, ze sluiten dicht aan bij methoden om optimale controleproblemen op te lossen in oneindig-norm enz. In de richting van elk van deze toepassingen kan gewerkt worden.

  • T830 Orthogonale rationale functies op de reële rechte: berekeningsaspecten

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Joris Van Deun

      
    Orthogonale rationale functies vormen een veralgemening van orthogonale veeltermen, in die zin dat we het veeltermgeval terugvinden als we alle polen in de rationale functie op oneindig leggen. Net zoals orthogonale veeltermen voldoen ook orthogonale rationale functies aan een drietermsrecursiebetrekking die toelaat om, eens de recursiecoëfficiënten gekend zijn, op een snelle en efficiënte manier de functies te evalueren.

    Ook de gekende Gauss-kwadratuurformules voor orthogonale veeltermen zijn veralgemeend naar het geval van rationale functies. Voor het geval van orthogonaliteit op (een deelverzameling van) de reële rechte zijn de abscissen in deze formules de nulpunten van de orthogonale rationale functies. Deze nulpunten worden (theoretisch) gevonden als de eigenwaarden van een veralgemeend eigenwaardenprobleem met tridiagonale matrices waarin de recursiecoëfficiënten verschijnen, zoals recent werd aangetoond in [2].

    Het is duidelijk dat de nauwkeurige berekening van de recursiecoëfficiënten van cruciaal belang is. Tot op heden is dit echter alleen voor een discreet inwendig product mogelijk. Voor een continu inwendig product kunnen we voorlopig alleen voor enkele specifieke gewichtsfuncties, speciale ligging van de polen en dan nog slechts voor zeer lage graad (n < 10) nauwkeurige resultaten vinden (tenzij indien we teruggrijpen naar multiprecisieberekeningen in Maple of Fortran, maar dat is net wat we in dit eindwerk willen vermijden).

      

    Doel van dit eindwerk is enerzijds om een methode te vinden die toelaat om voor hoge graad (dit is in het bijzonder van belang voor de theoretische studie van het asymptotisch gedrag van de recursiecoëfficiënten en de nulpunten) en willekeurige gewichten en polen de recursiecoëfficiënten nauwkeurig (dit wil zeggen met een afrondingsfout die van de orde van de machineprecisie blijft) te berekenen en eventueel (indien de tijd dit toelaat) ook een methode op te stellen om de nulpunten van de functies efficiënt en nauwkeurig te berekenen via het veralgemeend eigenwaardenprobleem, en anderzijds om deze methodes te implementeren in een gebruiksvriendelijk en flexibel Matlab-programma. Afhankelijk van de interesse van de student kan de nadruk meer liggen op de theoretische afleiding dan wel op implementatie-aspecten.

    Er is een aanzienlijke theoretische component aan dit eindwerk. Eerst en vooral het zich vertrouwd maken met de basisprincipes van orthogonale rationale functies zoals beschreven in [1] en de theorie van orthogonale veeltermen. De problematiek is zeer gelijkaardig, zie bijvoorbeeld [3-4]. Een mogelijke piste is het gebruik van gewijzigde momenten zoals beschreven in [5]. Verder de typisch numerieke kant: problemen van conditie en stabiliteit, foutenanalyse en dergelijke en ten slotte is er een lineaire-algebracomponent (veralgemeende eigenwaardenproblemen).

    Het eindwerk is geschikt voor één student.

    [1]
    A. Bultheel and P. González-Vera and E. Hendriksen and O. Njåstad. Orthogonal rational functions, volume 5 of Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, 1999.
    [2]
    A. Bultheel and P. González-Vera and E. Hendriksen and O. Njåstad. Orthogonal rational functions and tridiagonal matrices. J. Computational and Applied Mathematics, 2001, submitted.
    [3]
    W. Gautschi. On generating orthogonal polynomials. SIAM J. Sci. Stat. Computing, 3:289-317, 1982
    [4]
    W. Gautschi. Construction of Gauss-Christoffel Quadrature Formulas. Math. Comp. 22:251-270, 1968.
    [5]
    W. Gautschi. On the Construction of Gaussian Quadrature Rules from Modified Moments. Math. Comp. 24:245-260, 1970.

  • T819 Orthogonale rationale functies en identificatie van systemen

    Frequentiedomein systeemidentificatie-
    toolbox van matlab
    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel en Patrick Van gucht

    Bij de identificatie van systemen moet men uit een aantal meetgegevens een rationale transfer functie proberen te reconstrueren. Als men deze zoekt als een lineaire combinatie van orthogonale rationale basisfuncties met gegeven polen, dan is het lineaire probleem vlug opgelost. Als men echter de polen vrij laat, dan heeft men een gemengd lineair/niet lineair optimalisatieprobleem dat snelle, stabiele en robuste identificatie van het systeem toelaat. Er zijn reeds een aantal matlab codes beschikbaar. Rond dit onderwerp zijn verschillende thesissen mogelijk:

    (1)
    het schrijven van een grafische (matlab) interface zodat de routines kunnen geillustreerd worden, eventueel als web applicatie.
    (2)
    het optimaliseren van de niet lineaire optimalisatieroutine die gebruikt wordt
    (3)
    vergelijkende testen op praktische voorbeelden als met andere methoden het systeem wordt geidentificeerd.

    Literatuur

    [1]
    P. Van gucht and A. Bultheel, Using orthogonal rational functions for system identification Report TW314, Dept. Computer Science, K.U.Leuven, Sept. 2000.
    [2]
    A. Bultheel and P. Van gucht. Orthogonal bases for discrete time system identification, Ingediend ter publicatie.

  • T818 Trillingsproblemen uit de automobiel- en luchtvaartindustrie

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheelen Karl Meerbergen (Free Field Technologies)

    Zie hiervoor bij het onderwerp Lineaire algebra


Didactische software

 In deze cluster zijn onderwerpen samengebracht die voorstellen rond het schrijven van grotere en kleinere applets die dan voor didactische doeleinden kunnen gebruikt worden. Het gaat hem dikwijls om interdisciplinaire illustraties die zowel de ideeën uit de cursus illustreren als het gebruik ervan in toepassingen. Het moeten robuste codes zijn, gebruikersvriendelijk en vooral grafisch verzorgd.

  • T817 Didactische software voor wavelet cursus

    Promotor: Adhemar Bultheel
    Begeleider: Adhemar Bultheel

    Nu de cursustekst van Wavelets met toepassingen in signaal en beeldverwerking ongeveer een vaste vorm aangenomen heeft, is het de bedoeling deze cursus te ondersteunen met matlab-code zodat er met de voorgestelde technieken kan geëxperimenteerd worden. Er moeten ook illustraties gegenereerd kunnen worden, en mogelijk ook praktische oefensessies uitgewerkt worden.

    Hierbij zou men moeten steunen op een vrij beschikbaar matlab pakket zoals bv. Wavelab.

    WaveLab 802 is een verzameling wavelet routines voor matlab5.x dat ontwikkeld is aan de universiteit van Stanford door D. Donoho, M.R. Duncan, X. Huo en O. Levi. Het heeft het grote voordeel boven de matlab toolbox dat het vrij beschikbaar is. Daardoor ontstaat er geen copyright probleem indien de toepassingen steunen of sommige van deze routines.

    De functionaliteit van de wavelet toolbox kan natuurlijk wel als inspiratiebron dienen.

keyboard_arrow_up