|
overzicht |
||
T817 |
Orthogonale rationale functies en kwadratuur
Orthogonale rationale functies vormen een veralgemening van orthogonale veeltermen, in die zin dat we het veeltermgeval terugvinden als we alle polen in de rationale functie op oneindig leggen. Net zoals orthogonale veeltermen voldoen ook orthogonale rationale functies aan een drietermsrecursiebetrekking die toelaat om, eens de recursiecoëfficiënten gekend zijn, op een snelle en efficiënte manier de functies te evalueren. Ook de gekende Gauss-kwadratuurformules voor orthogonale veeltermen zijn veralgemeend naar rationale functies. Voor het geval van orthogonaliteit op (een deelverzameling van) de reële rechte zijn de abscissen in deze formules de nulpunten van de orthogonale rationale functies. Deze nulpunten worden gevonden als de eigenwaarden van een veralgemeend eigenwaardenprobleem met tridiagonale matrices waarin de recursiecoëfficiënten verschijnen, zoals recent werd aangetoond in [2]. Het is duidelijk dat de nauwkeurige berekening van de recursiecoëfficiënten van cruciaal belang is. In [3] en [4] worden een aantal methodes afgeleid om voor specifieke plaatsing van de polen deze coëfficiënten te berekenen. Deze methodes zijn echter nog te veralgemenen of uit te breiden. De kwadratuurformules gebaseerd op rationale functies zullen vooral toepassingen vinden bij het benaderen van integralen waarbij de integrand polen heeft. Hieromtrent is echter nog weinig concreet onderzoek gebeurd en het zou zeker interessant zijn om een zo algemeen mogelijke methode te bedenken om dergelijke integralen nauwkeurig en efficiënt uit te rekenen. 
Doel van dit eindwerk is enerzijds om de bestaande theorie omtrent het uitrekenen van de orthogonale rationale functies zoveel mogelijk te veralgemenen en te implementeren in een Matlab- en/of Fortran-programma en anderzijds om een algemene methode te bedenken, gebaseerd op rationale kwadratuur, om een zo groot mogelijke klasse van 'moeilijke' integralen nauwkeurig en efficiënt te berekenen. Afhankelijk van de interesse van de student kan de nadruk meer liggen op de theoretische afleiding dan wel op implementatie-aspecten. Er is een aanzienlijke theoretische component aan dit eindwerk. Eerst en vooral het zich vertrouwd maken met de basisprincipes van orthogonale rationale functies zoals beschreven in [1] en de theorie van orthogonale veeltermen. Verder de typisch numerieke kant: problemen van conditie en stabiliteit, foutenanalyse en dergelijke en ten slotte is er een lineaire-algebracomponent (veralgemeende eigenwaardenproblemen). Het eindwerk is geschikt voor één student. Referenties
|