|
overzicht
|
||
T818 |
Orthogonale rationale functies en numerieke integratie
Orthogonale rationale functies vormen een veralgemening van orthogonale veeltermen, in die zin dat we het veeltermgeval terugvinden als we alle polen in de rationale functie op oneindig leggen. Net zoals orthogonale veeltermen voldoen ook orthogonale rationale functies aan een drietermsrecursiebetrekking die toelaat om, eens de recursiecoëfficiënten gekend zijn, op een snelle en efficiënte manier de functies te evalueren. Ook de gekende Gauss-kwadratuurformules voor orthogonale veeltermen zijn veralgemeend naar rationale functies. Voor het geval van orthogonaliteit op (een deelverzameling van) de reële rechte zijn de abscissen in deze formules de nulpunten van de orthogonale rationale functies. Deze nulpunten worden gevonden als de eigenwaarden van een veralgemeend eigenwaardenprobleem met tridiagonale matrices waarin de recursiecoëfficiënten verschijnen, zoals recent werd aangetoond in [2]. Het is duidelijk dat de nauwkeurige berekening van de recursiecoëfficiënten van cruciaal belang is. In [3] en [4] worden een aantal methodes afgeleid om voor specifieke plaatsing van de polen deze coëfficiënten te berekenen. Deze methodes zijn echter nog te veralgemenen of uit te breiden. De kwadratuurformules gebaseerd op rationale functies zullen vooral toepassingen vinden bij het benaderen van integralen waarbij de integrand polen heeft. Hieromtrent is echter nog weinig concreet onderzoek gebeurd en het zou zeker interessant zijn om een zo algemeen mogelijke methode te bedenken om dergelijke integralen nauwkeurig en efficiënt uit te rekenen. 
Het doel van deze thesis is het vergelijken van bestaande numerieke-integratiemethodes en -pakketten met meer recente ontwikkeling en gebaseerd op orthogonale rationale functies, en dit op het vlak van snel heid, efficiëntie, nauwkeurigheid, ... Eventueel ook zoeken naar toepassi ngen en bijhorende implementatie in Matlab. Het eindwerk is geschikt voor één student. Referenties
|