T805

Promotor: Paul Dierckx
Begeleider: Hendrik Speleers

Tensor-product splines worden vaak gebruikt bij het fitten van een vloeiend oppervlak door een stel meetgegevens, of bij het grafisch modelleren van oppervlakken. Een nadeel van een dergelijke voorstelling is dat ze beperkt is tot rechthoekige domeinen met regelmatige roosters, wat een adequate adaptieve verfijning bemoeilijkt. Powell-Sabin splines zijn een waardig alternatief. Deze stuksgewijze kwadratische veeltermen met C¹-continuïteit worden gedefinieerd over willekeurige driehoeksverdelingen. Ze beschikken ook over een compacte genormalizeerde basis, zodat de spline aan de hand van controledriehoeken gemakkelijk geometrisch gestuurd kan worden.

Subdivisie is een efficiënte techniek om een gegeven spline oppervlak voor te stellen op een fijner rooster dan het rooster waar de oorspronkelijke spline op gedefinieerd is. Op die manier bekomen we meer vrijheidsgraden om het oppervlak voor te stellen, wat toelaat om het oppervlak gemakkelijker lokaal aan te passen. Voor Powell-Sabin splines bestaat er een subdivisie schema dat gebaseerd is op triadische verfijning. Hierbij worden alle driehoeken in 9 kleinere driehoeken opgedeeld. Wanneer de resolutie van het oppervlak enkel in een lokaal deel van het oppervlak moet verhoogd worden, dan verfijnt een globaal subdivisieschema onnodig ook de rest van het oppervlak. Hiërarchische Powell-Sabin splines bieden hier een oplossing voor. Deze splines worden gedefinieerd op een hiërarchische driehoeksverdeling. Zo’n rooster wordt bekomen door recursief een initiële driehoeksverdeling lokaal te verfijnen. Lokale subdivisie zit bijgevolg ingebakken in de definitie van deze hiërarchische splines. Ze kunnen ook zeer gemakkelijk veralgemeend worden in een parametrische voorstelling.

Trefoil knoop gemodelleerd met Powell-Sabin splines		Lokale aanpassing dankzij hiërarchische Powell-Sabin splines

De bedoeling van deze thesis is de geschiktheid van hiërarchische Powell-Sabin splines te onderzoeken, met betrekking tot oppervlakte-fitting en -modellering. De volgende aspecten zullen aan bod komen:

• Lokale subdivisie voor hiërarchische Powell-Sabin splines vergelijken met een lokaal subdivisieschema voor de klassieke Powell-Sabin splines. Omdat bij Powell-Sabin splines het verfijnde rooster conform moet blijven, wordt hierbij gebruik gemaakt van een verfijningspropagatie techniek, die er voor zorgt dat er meer driehoeken verfijnd worden dan strikt nodig.
• In welke mate moet het benaderingsalgoritme voor de klassieke Powell-Sabin splines aangepast worden om overweg te kunnen met de hiërarchische variant? Dit algoritme bepaalt automatisch en adaptief een geschikte triangulatie en een benadering die een compromis vormt tussen voldoende aansluiten bij de gegevens en voldoende uitsmoothen van de meetfouten.
• Zal na iedere verfijningsstap een nieuwe benadering gezocht worden op het volledige hiërarchische rooster, of is het interessanter om enkel op het lokaal verfijnde deel van het rooster een benadering voor de residu (fout tussen de werkelijke functie en de gevonden benadering uit de vorige stap) te zoeken?
• ...