|
overzicht · Numerieke simulatie |
||||||||
T806 |
Multischaal preconditioners voor de numerieke simulatie van dunne plaat vervormingen
De elastische vervorming van dunne platen kan men beschrijven door een vierde orde elliptische partiële differentiaalvergelijking. De vervormingvan dunne platen is een typische toepassing, maar er zijn andere toepassingen die kunnen beschreven worden door dergelijke vergelijkingen. Meestal gaat het over een oplossing die een oppervlak beschrijft met minimale energie zoals bv. bij ontwerp van de voorruit van een auto, ooglenzen, allerlei geologische toepassingen, enz. Om een partiële differentiaalvergelijking numeriek op te lossen gaat men deze vergelijking vaak discretiseren met behulp van eindige elementen. Dit resulteert in een zeer groot lineair stelsel dat dan opgelost wordt met de geconjugeerde gradiëntmethode. Het stelsel lineaire vergelijkingen moet dan wel op gepaste wijze voorgeconditioneerd worden. Gedurende de voorbije 20 jaar is er actief gezocht naar verscheidene efficiënte preconditioners. Een populaire voorconditioneringstechniek voor zulke problemen is de verandering van basis. Dit wil zeggen dat men niet zomaar een willekeurige eindige elementenbasis kiest om het probleem te discretiseren, maar dat men een geschikte basis kiest die aangepast is aan het probleem dat men wil oplossen. In 1986 verrichte Harry Yserentant baanbrekend werk door de zogenaamde hiërarchische basis te gebruiken voor het discretiseren van elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. Een hiërarchische basis bestaat uit een aantal basisfuncties die geschikt zijn voor het ruw benaderen van een gegeven functie en basisfuncties die geschikt zijn voor het toevoegen van detail aan de initiële ruwe benadering. Op die manier creëert men een multischaal structuur waarbij men een functie op verscheidene niveau's van detail kan weergeven. Andere preconditioners volgden, zoals de nauw verwante BPX-preconditioner en de wavelet preconditioner. In de originele papers werden deze preconditioners ontwikkeld voor 2de orde elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. Hun efficiëntie wordt gedemonstreerd in de tabel De eerste kolom geeft de grootte van de discretisatiestap aan, of, in andere woorden, de resolutie van de onderliggende basis. Als n klein is kunnen we een gegeven functie enkel ruw benaderen. Als n groter wordt kunnen we een gegeven functie met steeds meer detail benaderen. Vervolgens maken we een onderscheid tussen de BPX-preconditioner, de wavelet preconditioner en de hierarchische basis preconditioner. De kolom residu bevat de fout die we maken op de echte oplossing. De kolom # bevat het aantal iteraties dat de geconjugeerde gradiëntmethode nodig had om dit resultaat te krijgen en de kolom κ bevat het konditiegetal van het stelsel lineaire vergelijkingen dat we willen oplossen. Uit de tabel blijkt dat de BPX-preconditioner het beste werkt voor dit probleem. Inderdaad, het conditiegetal is lager in vergelijking met de twee andere preconditioners en we hebben minder interaties nodig om te convergeren tot de oplossing. Het doel van de thesis is om een vergelijkende studie te maken tussen verschillende soorten preconditioners voor 4de orde elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. Als modelprobleem wordt de biharmonische vergelijking Δ2 u = f genomen met Dirichlet randvoorwaarden. Verscheidene BPX-preconditioners voor 4de orde problemen kunnen vergeleken worden met mekaar, alsook verschillende types hierarchische basis preconditioners en wavelet preconditioners. Het implementatie-aspect is hier zeer belangrijk. Om de problemen numeriek te simuleren wordt hoofdzakelijk gebruik gemaakt van C++ en eventueel ook Matlab. Ook moeilijkere problemen kunnen aangepakt worden, zoals bijvoorbeeld het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen op het oppervlak van een bol.
|
