T825

Promotor: Marc Van Barel
Begeleider: Marc Van Barel

voorbeeld van een Toeplitz-matrix

voorbeeld van een semiseparabele matrix

Toeplitz-matrices worden gekenmerkt door het feit dat alle elementen op de sub- en super-diagonalen gelijk zijn. In feite worden deze matrices dus gekarakteriseerd door 2n-1 parameters. Een manier om met deze matrices te werken maakt gebruik van hun lage verplaatsingrang. Het komt erop neer dat we in plaats van met de Toeplitz matrix zelf te gaan werken, gaan werken met de generatoren van deze Toeplitz matrix, en deze generatoren, bestaan slechts uit 2n-1 parameters.

Semiseparabele matrices, worden gekenmerkt doordat alle matrices beneden en boven de diagonaal van lage rang zijn. Deze matrices kunnen dus ook voorgesteld worden door 2n-1 parameters. Meer nog, we kunnen ook met deze matrices op een eenvoudigere en snellere wijze werken door enkel met hun generatoren te werken.

Voor beide klassen van matrices bestaan er algoritmen, die specifiek gebruik maken van hun structuur. Bijvoorbeeld het Levinson algoritme voor het oplossen van stelsels, of het Schur algoritme. Verder bestaat er nog een implementatie die Toeplitz matrices omzet in Semiseparabele matrices.

De intentie is dat de student een vergelijkende studie maakt tussen deze verschillende algoritmes. Al de bovenstaande algoritmes, lossen stelsels op met semiseparabele of Toeplitz matrices. Deze studie omhelst accuraatheidstesten, snelheidstesten, stabiliteitstesten van de omzetting van de ene klasse naar de andere klasse, ...

Bijkomend zal er dan ook een studie gemaakt worden van het Schur algoritme om Toeplitz matrices te inverteren. Gebruikmakend van hun generatoren, kan men met behulp van een aangepaste versie van het Schur algoritme, de generatoren berekenen van de inverse van de Toeplitz matrices. De student, moet zelf een soortgelijk algoritme ontwikkelen dat de generatoren berekent van de inverse van de semiseparabele matrix, gebaseerd op het Schur algoritme voor deze matrices. Een implementatie van dit algoritme is gewenst.