T826

Promotor: Adhemar Bultheel
Begeleider: Adhemar Bultheel

Visualisatie van een orthogonale rationale functie op de eenheidscirkel

Orthogonale rationale functies zijn veralgemeningen van orthogonale veeltermen waarbij men een stel voorafgekozen polen invoert.

Indien de polen bestaan uit complex toegevoegde paren, dan is het mogelijk om de recursiebetrekking voor die orthogonale functies met reële bewerkingen uit te voeren, als men telkens een paar toegevoegde polen tegelijk invoert.

Ook het geval waarbij men enkel polen in 0 en oneindig kiest is interessant omdat men dan Laurentveeltermen krijgt (d.i. veeltermen met positieve en negatieve machten van de veranderlijke).

Deze recursiebetrekking voor deze orthogonale functies kan in het algemeen beschreven worden door een Hessenberg matrix. Daarom kan het berekenen van die orthogonale functies ook omgevormd worden tot een invers eigenwaardeprobleem voor een matrix die de inverse is van een Hessenberg matrix. Zo een matrix heeft een structuur die voortkomt uit de structuur die de Hessenberg matrix heeft. Men spreekt van een semiseparabele matrix. Hoe meer structuur in de Hessenberg matrix (bv. tridiagonaal of pentadiagonaal) hoe meer structuur (hoe eenvoudiger) de semiseparabele matrix.

Het is de bedoeling van dit eindwerk om de berekening van orthogonale rationale functies (op een interval, op de rechte of op de eenheidscirkel van het complexe vlak) met complex toegevoegde polen via blok-bewerkingen op een semiseparabele matrix te implementeren. Dit is reeds uitgewerkt in een recent doctoraat, maar met een parameterisatie van de semiseparabele matrix die niet stabiel is voor numerieke berekeningen. Er is een andere parameterisatie mogelijk die de matrix voorstelt met behulp van een vector en een stel Givens rotaties die veel stabieler zou moeten zijn.

Andere mogelijkheden zijn om andere mogelijkheden te onderzoeken. Zo is onlangs ontdekt dat de orthogonale veeltermen op de eenheidscirkel ook aan een 5-terms-recursie voldoen. De inverse van deze pentadiagonale matrix moet dan ook toelaten om de berekening van deze orthogonale veeltermen als een invers eigenwaardeprobleem te zien. Het verband met de klassieke recursie met een unitaire Hessenberg matrix kan onderzocht worden. Dit is eerder van theoretisch-algoritmische aard.

Nog een andere mogelijkheid is om meervoudig orthogonale veeltermen te bestuderen in deze context. Als men veeltermen construeert die aan orthogonaliteitseisen voldoen voor meerdere gewichten, of als men vectoren van veeltermen heeft die orthogonaal zijn, dan krijgt men ook Hessenbergmatrices met een bandstructuur (de bandbreedte is het aantal gewichten dat men in rekening brengt). Ook deze recursie kan men proberen als een invers eigenwaardeprobleem te interpreteren. Deze thesis is eerder van theoretische aard.