Masterproef T802 : Powell-Sabin splines in meerdere dimensies

Informatie:	Hendrik Speleers
Promotor:	Paul Dierckx, Hendrik Speleers
Begeleider:	Hendrik Speleers

Numerieke Approximatie en Lineaire Algebra Groep

Splinefuncties zijn een belangrijk hulpmiddel in tal van toepassingsdomeinen, gaande van computergesteund geometrisch ontwerpen tot data fitting en eindige elemententoepassingen. Powell-Sabin splines zijn bivariate kwadratische splines met C¹-continuiteit die gedefinieerd worden over willekeurige driehoeksverdelingen. Deze splines hebben een aantal voordelen vergeleken met de alom gebruikte tensor-product splines: ze laten toe om functies te benaderen over een domein met een willekeurige meerzijdige rand en lokale adaptiviteit kan gemakkelijk bekomen worden met een aangepaste driehoeksverdeling. Met behulp van controledriehoeken kunnen dergelijke splines op een geometrisch intuitieve manier geconstrueerd worden. Veel toepassingen vereisen echter meer dan twee dimensies. In deze thesis wordt op zoek gegaan naar een multivariate uitbreiding van de Powell-Sabin splines die gedefinieerd kan worden op een meerdimensionaal rooster bestaande uit een verzameling simplices (meerdimensionaal analogon van de driehoek).

Deze thesis richt zich op de constructie en gebruik van multivariate splinefuncties met gelijkaardige eigenschappen als de bivariate Powell-Sabin splines.

Bivariate Powell-Sabin splines zijn gedefinieerd op een driehoeksverdeling waarbij elke driehoek in zes deeldriehoeken opgesplitst wordt. In eerste instantie zal bestudeerd worden hoe deze split veralgemeent voor meerdimensionale simplices, zodanig dat een C¹-continue kwadratische splineruimte daarover kan gedefinieerd worden op een eenvoudige manier. De kracht van een goede splinevoorstelling ligt in de constructie van een geschikte basis. Enkele belangrijke eigenschappen zijn lokaliteit, positiviteit en sommatie-tot-een. Er zal op zoek gegaan worden hoe een dergelijke basis kan geconstrueerd worden voor de meerdimensionale splineruimte. Afhankelijk van tijd en interesse, kan daarna dieper ingegaan worden op enkele theoretische eigenschappen en/of het toepassen in de context van data fitting.

Deze thesis is zowel theoretisch als implementatiegericht.

Deze masterproef is voor 1 student.