Masterproef T804 : Adaptiebenaderen met afgeknotte hiërarchische B‐splines

Informatie:	Hendrik Speleers
Promotor:	Paul Dierckx, Hendrik Speleers
Begeleider:	Hendrik Speleers

Numerieke Approximatie en Lineaire Algebra Groep

Isogeometrische Analyse (IgA) is een state‐of‐the‐art techniek om de connectie tussen numerieke simulatie en computergesteund ontwerp (CAD) systemen te verbeteren. Splines zijn veelgebruikte voorstellingsmiddelen in CAD‐systemen, omdat ze toelaten om op een geometrisch intuïtieve manier complexe (zachtverlopende) oppervlakken te modelleren. Anderzijds, numerieke simulaties in de analysefase worden gewoonlijk gedaan met behulp van (lagegraads veeltermgebaseerde) eindige‐elementenmethoden. In hedendaagse systemen is de conversie tussen beide voorstellingswijzen een erg tijdrovend proces. Het kernidee van IgA is om de exacte splinevoorstelling van de geometrie aangeleverd door de CAD‐systemen, direct te integreren in de analysefase (zonder conversiestap), en om ook dezelfde voorstellingswijze te gebruiken om differentiaalvergelijkingen mee op te lossen. Tensorproduct B‐splines (en NURBS) zijn de huidige standaard in CAD‐systemen, en vormen daardoor ook de oorspronkelijke keuze voor IgA. Maar ondanks hun vele interesante eigenschappen hebben ze ook enkele nadelen voor analyse. De tensorproduct structuur laat bijvoorbeeld niet toe om een oplossing enkel lokaal te verfijnen/verbeteren. Daardoor is er nood aan alternatieve splinevoorstellingen die lokale verfijning toelaten.

Deze thesis onderzoekt het gebruik van een nieuw type hiërarchische B‐splines die toelaten om lokaal te verfijnen.

Een hiërarchisch splinemodel wordt gedefinieerd aan de hand van een hiërarchie van fijnere roosters. De mogelijkheid om die fijnere roosters te beperken tot specifieke regio's laat lokale verfijning op een zeer elegante manier toe. De afgeknotte hiërarchische basis is een specifieke B‐splinevoorstelling voor dergelijke hiërarchische splineruimten, die dezelfde eigenschappen van de klassieke B‐spline basis behoudt: lokaliteit, positiviteit, sommatie‐tot‐een, en ze hebben interessante stabiliteitseigenschappen. In deze thesis zal deze splinevoorstelling toegepast worden in de context van adaptieve data fitting. Een quasi‐interpolatie schema zal ontworpen worden door de specifieke eigenschappen van een dergelijke afgeknotte basis uit te buiten. Een goed quasi‐interpolatie schema heeft de volgende aantrekkelijke eigenschappen: het maakt enkel gebruik van een beperkt aantal functie‐evaluaties, het is een lokaal schema (er is geen nood om een globaal stelsel vergelijkingen op te lossen), en het garandeert bovendien optimale benadering.

Deze thesis is eerder theoretisch.

Deze masterproef is voor 1 student.