Masterproef T703 : Een onvolledige multifrontale preconditioner voor ijle matrices

Begeleiding:

Informatie:	Karl Meerbergen	Nick Van Nieuwenhoven
Promotoren:	Karl Meerbergen
Begeleider:	Nick Van Nieuwenhoven

Onderzoeksgroep:

Numerieke Approximatie en Lineaire Algebra Groep

Context:

Het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen is een essentieel onderdeel van vele ingenieursproblemen. In de context van de eindige-elementenmethode, bijvoorbeeld, kan het oplossen van een partiële differentiaalvergelijking na discretisatie herleidt worden tot het oplossen van een grootschalig lineair stelsel, vaak met miljoenen onbekenden. Dit maakt het gebruik van iteratieve methoden zoals Krylovdeelruimtemethoden onontbeerlijk. Om hun convergentie te versnellen wordt het probleem voorgeconditioneerd. Recentelijk werd een nieuwe meerniveau onvolledige factorizatie-methode voorgesteld, de incomplete multifrontal (IMF) preconditioner, die de structuur van het eindige-elementenprobleem tracht uit te buiten. Door zijn constructie is IMF vaak succesvol op enkele gekoppelde differentiaalvergelijkingen, zoals deze uit de vloeistofdynamica. Een typische toepassing uit dit domein is het berekenen van de stroming van een vloeistof rond een obstakel, zoals hieronder gevisualiseerd wordt.

flow

Doel:

Het verbeteren en uitbreiden van IMF zodat ook grootschalige driedimensionale problemen efficiënt opgelost kunnen worden.

Uitwerking:

Er zijn vele technieken mogelijk om de prestaties voor driedimensionale problemen te verbeteren, zoals een aangepast vergrovingsmechanisme, een waardengebaseerde verwaarlozingsstrategie, of parallellisatie. IMF kan ook aangepast worden zodat deze ook toepasbaar is op algemene ijle stelsels. In functie van de interesse van de student worden enkele van deze technieken of andere uitbreidingen in C++ geïmplementeerd.

Relevante literatuur:

N. Vannieuwenhoven and K. Meerbergen, IMF: An incomplete multifrontal LU-factorization for element-structured sparse linear systems, SIAM J. Scientific Computing. 35(1):A270-A293, 2013.

Profiel:

De masterproef is praktisch van aard; een belangrijk deel bestaat uit het implementeren en vergelijken van prestatieverbeterende technieken. Desalniettemin zal een diepgaande kennis inzake preconditioneermethoden uitgebouwd worden. Een goede voorkennis van numerieke lineaire algebra met in het bijzonder Krylovdeelruimtemethoden en LU-factorizaties is vereist. Deze voorkennis kan bijvoorbeeld bekomen worden door het volgen van het vak Numerieke Lineaire Algebra. De implementatie verloopt in C++.

Deze masterproef is voor 1 student.